已知函数．求证：在上单调递增；函数有三个零点，求值；对恒成立，求的取值范围.

题文

（本题满分15分）已知函数

．
（I）求证：

在

上单调递增；
（Ⅱ）函数

有三个零点，求

值；
（Ⅲ）对

恒成立，求

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数

在

上单调递增。证明略
（Ⅱ）

 
（Ⅲ）

。

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解析

解：（I）

，
由于

，故尝

时，

，所以

，
故函数

在

上单调递增。
（Ⅱ

）令

，得到

，
因为函数

 有三个零点，所以

有三个根，
因为当

时，

，所以

，故

  
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

在区间

上

单调递减，在区间

上单调递增。
所以

，


  


记

则

（仅在

时取到等号），
所以

递增，故

，
所以

 ，    于是


故对




，所以

。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分15分）已知函数．（I）求证：.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。