(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C

题文

(本小题满分13分)
定义F(x，y)＝(1＋x)^y，其中x，y∈(0，＋∞).
(1)令函数f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀(－4<x₀<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
(2)令函数g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由.
(3)当x，y∈N^，且x<y时，求证：F(x，y)>F(y，x). 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a<10.
（2）略
（3）略

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解析

解：(1)f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))＝x³＋ax²＋bx＋1，设曲线C在x₀(－4<x₀<－1)处有斜率为－8的切线，
又由题设知log₂(x³＋ax²＋bx＋1)>0，f′(x)＝3x²＋2ax＋b，


3x²₀+2ax₀+b="-8 " ①
∴存在实数b使得  -40<-1      ② 有解，(3分)
x³₀+ax²₀+bx₀>0 ③
由①得b＝－8－3x－2ax₀，代入③得－2x－ax₀－8<0，


∴由   2x²₀+ax₀+8>0 有解，
-4< x₀<-1
得2×(－4)²＋a×(－4)＋8>0或2×(－1)²＋a×(－1)＋8>0，
∴a<10或a<10，∴a<10.(5分)
(2)∵g(x)＝(lnx－1)e^x＋x，
∴g′(x)＝(lnx－1)′e^x＋(lnx－1)(e^x)′＋1＝＋(lnx－1)e^x＋1＝(＋lnx－1)e^x＋1.(6分)
设h(x)＝＋lnx－1.则h′(x)＝－＋＝，
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.
h(x)为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即＋lnx－1≥0.
当x₀∈[1，e]时，ex₀>0，＋lnx₀－1≥0，
∴g′(x₀)＝(＋lnx₀－1)ex₀＋1≥1>0.(8分)
曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x₀)＝0有实数解.
而g′(x₀)>0，即方程g′(x₀)＝0无实数解.
故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直.(9分)

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。