题文
定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的上界.
已知函数
；
.
（1）当
时，求函数
在
上的值域，并判断函数
在
上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数
在
上是以3为上界的有界函数，求实数
的取值范围；
（3）若
，函数
在
上的上界是
，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
在
的值域为
，故不存在常数
，使
成立
所以函数
在
上不是有界函数。
（2）实数
的取值范围为
。
（3）当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
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解析
[解]：（1）当时，
因为
在
上递减，所以
，即
在
的值域为
故不存在常数
，使
成立
所以函数
在
上不是有界函数。 ……………4分（没有判断过程，扣2分）
（2）由题意知，
在
上恒成立。………5分
，
∴
在
上恒成立………6分
∴
………7分
设
，
，
，由
得 t≥1，
设
，
所以
在
上递减，
在
上递增，………9分（单调性不证，不扣分）
在
上的最大值为
，
在
上的最小值为
所以实数
的取值范围为
。…………………………………11分
（3）
，∵ m>0 ，
∴
在
上递减，…12分
∴
即
………13分
①当
，即
时，
， ………14分
此时
，………16分②当
，即
时，
，
此时
， ---------17分
综上所述，当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
………18分
考点
据考高分专家说，试题“定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：
y=ax（a＞0，且a≠1）
理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于
在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像
等函数都不是指数函数，要注意区分。
