题文
(本小题满分15分)已知函数
，
。
（Ⅰ）求
在区间
的最小值；
（Ⅱ）求证：若
，则不等式
≥
对于任意的
恒成立；
（Ⅲ）求证：若
，则不等式
≥
对于任意
的
恒成立。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解(Ⅰ):
………………………………………1分
①若
∵
，则
，∴
，即
。
∴
在区间
是增函数，故
在区间
的最小值是
。……3分
②若
令
，得
.
又当
时，
；当
时，
，
∴
在区间
的最小值是
………………………………5分
综上，当
时，
在区间
的最小值是
，当
时，
在区间
的最小值是
。……………………………………………6分
（Ⅱ）证明:当
时，
，则
，7分
∴
,
当
时，有
，∴
在
内是增函数，
∴
，
∴
在
内是增函数，
∴对于任意的
，
恒成立。…………………………………1
0分
(Ⅲ)证明:
,
令
则当
时,
≥
,……………………………………………12分
令
,则
,
当
时,
；当
时，
；当
时，
，
则
在
是减函数，在
是增函数，
∴
，∴
，
∴
，即不等式
≥
对于任意的
恒成立。……………15分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分15分) 已知函数，。（Ⅰ）.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：
y=ax（a＞0，且a≠1）
理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于
在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像
等函数都不是指数函数，要注意区分。
