函数的定义域为，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图像可能是( ).(B)(C) (D)

题文

函数

的定义域为

，若对于任意的正数a，函数

都是其定义域上的增函数，则函数

的图像可能是                       (     ).



（A）               (B)                  (C)               (D) 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

分析：根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大，分析选项可得答案。
解答：
根据增函数定义，
设x₁＞x₂
g（x₁）-g（x₂）＞0
f（x₁+a）-f（x₁）＞f（x₂+a）-f（x₂）
f（x₁+a）-f（x₂+a）＞f（x₁）-f（x₂）
由此我们可知：在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大
故有f′（x₁）＞f′（x₂）
∴只有D图象符合，故选D。
点评：本题考查了增函数列不等式的知识，注意巧妙求导的技巧。

考点

据考高分专家说，试题“函数的定义域为，若对于任意的正数a，函数.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。