(本小题满分12分）设当时，函数的值域为，且当时，恒有，求实数k的取值范围．

题文

(本小题满分12分）
设当

时，函数

的值域为

，且当

时，恒有

，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

点击查看指数函数的解析式及定义（定义域、值域）知识点讲解,巩固学习

解析

令t=2

，由x

1，则

,然后采用换元法把原函数转化为

,再根据二次函数的性质求出其值域D，然后把当

时，恒有

，转化为x²+（k-4）x+5

0当x∈D时恒成立问题，借助二次函数的性质只需区间D的两端点代入这个不等式使不成立即可得到k的不等式组求出k的取值范围.
令t=2

，由x

1，则t∈（0，2

，
则原函数y=t

-2t+2=（t-1）

+1∈[1，2]，即D=[1，2]，
由题意：f（x）=x²+kx+5

4x，
法1：则x²+（k-4）x+5

0当x∈D时恒成立


     


∴  k

-2.
法2：则

在

时恒成立，故

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分）设当时，函数的值域为.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。