已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立.函数f(x)=" x" 是否属于集合M？

题文

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立.
（Ⅰ）函数f(x)=" x" 是否属于集合M？说明理由；
（Ⅱ）设函数f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a^x∈M；
（Ⅲ）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f(x)=

 
（Ⅱ）因为函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：

有解，消去y得a^x=x,
显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T="T."
于是对于f(x)=a^x有

 
故f(x)=a^x∈M.  
（Ⅲ）实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}  

点击查看指数函数的解析式及定义（定义域、值域）知识点讲解,巩固学习

解析

（Ⅰ）把函数f(x)= x代入f(x+T)="T" f(x)不恒成立，所以 函数f(x)=" x" 不属于集合M；（Ⅱ）由函数

 且

的图象与函数

的图象有公共点，可得

，存在非零常数T，使

.把函数

代入f(x+T)="T" f(x)，结合

，可得函数

属于集合M；（Ⅲ）先讨论实数

是否为0，

时显然成立；

时，把函数

代入整理得

恒成立，所以

.根据三角函数的诱导公式可得实数

的值.

考点

据考高分专家说，试题“已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。