给定方程：x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数解；④若x0是该方程

题文

给定方程：（

）^x+sinx﹣1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x₀是该方程的实数解，则x₀＞﹣1．
则正确命题是        ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

②③④

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解析

对于①，若α是方程（

）^x+sinx﹣1=0的一个解，
则满足（

）^α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（

）^α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（

）^x﹣1=﹣sinx，
当x≥0时，﹣1＜（

）^x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，
因此函数y=（

）^x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点
因此方程（

）^x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；
对于③，当x＜0时，
由于x≤﹣1时（

）^x﹣1≥1，函数y=（

）^x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点
当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（

）^x=1﹣sinx，
因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；
对于④，由上面的分析知，
当x≤﹣1时（

）^x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函数y=（

）^x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点
因此只要x₀是该方程的实数解，则x₀＞﹣1．
点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题

考点

据考高分专家说，试题“给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。