集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.试判断=及是否在集合A中，并说明理由；设ÎA且定义域为(0，

题文

集合A是由适合以下性质的函数

构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数

，都有

.
（1）试判断

=

及

是否在集合A中，并说明理由；
（2）设

ÎA且定义域为(0，+¥)，值域为(0，1)，

，试写出一个满足以上条件的函数

的解析式，并给予证明. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

，

；（2）

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解析

（1）根据题目给出的性质对函数

与

进行判断即可；（2）可以模仿（1）中的函数进行寻找，或者可以这么找，因为我们学了指数、对数、幂函数，而（1）中已经出现了对数函数与幂函数，所以是否可以考虑从指数函数中寻找．
试题解析：（1）

，

.                   2分
对于

的证明. 任意

且

，



即

. ∴

             4分
对于

，举反例：当

，

时，


，


，
不满足

. ∴

.            7分
⑵函数

，当

时，值域为

且

.  9分
任取

且

，则



即

. ∴

.          14分

考点

据考高分专家说，试题“集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。