题文
已知函数
（
为常数），函数
定义为：对每一个给定的实数
，
（1）求证：当
满足条件
时，对于
,
；
（2）设
是两个实数，满足
，且
，若
，求函数
在区间
上的单调递增区间的长度之和.（闭区间
的长度定义为
） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析（2）
点击查看指数函数的解析式及定义（定义域、值域）知识点讲解,巩固学习
解析
（1）由分析可知
的解析式就是取
中较小的一个。所以
等价于
，将此不等式转化成指数函数不等式
，根据指数的运算法则
，应将
除过去用公式，再将不等式左边的2也化为以3为底的对数，依据的公式是
。再根据指数函数的单调性解同底的对数不等式。最后根据绝对值不等式的性质放缩不等式，即可求解。（2）根据（1）中所证已知
时，
，图形关于
对称，且在
两侧单调性相反。若
则
为
的中点。即可求得函数
在区间
上的单调递增区间的长度。当
时，当
时
，当
时
，当
时解
图象交点的横坐标，根据图像得
的解析式。再根据图像得增区间，再求增区间的长度。
试题解析：（1）由
的定义可知，
（对所有实数
）等价于
（对所有实数
）这又等价于
，即
对所有实数
均成立. （*） 由于
的最大值为
， 故（*）等价于
，即
，所以当
时，
（2）分两种情形讨论
（i）当
时，由（1）知
（对所有实数
）
则由
及
易知
，
再由
的单调性可知，
函数
在区间
上的单调增区间的长度
为
（参见示意图1）
（ii）
时，不妨设
，则
，于是
当
时，有
，从而
；
当
时，有
从而
；
当
时，
，及
，由方程
解得
图象交点的横坐标为
⑴
显然
，
这表明
在
与
之间。由⑴易知
综上可知，在区间
上，
（参见示意图2）
故由函数
及
的单调性可知，
在区间
上的单调增区间的长度之和为
，由于
，即
，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，
在区间
上的单调增区间的长度和为
。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（为常数），函数定义为：对每一个.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：
y=ax（a＞0，且a≠1）
理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于
在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像
等函数都不是指数函数，要注意区分。
