设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．

题文

设a＞0，f(x)＝

是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)

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解析

(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，
于是

＝

＋3a，即

.因为a＞0，故a＝1.
(2)设x₂＞x₁≥0，f(x₁)－f(x₂)＝(3x₂－3x₁)(

－1)．
因为3^x为增函数，且x₂＞x₁，
故3x₂－3x₁＞0.因为x₂＞0，x₁≥0，故x₂＋x₁＞0，于是

＜1，即

－1＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．

考点

据考高分专家说，试题“设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。