已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，

题文

已知函数f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；
(3)当a、b满足什么关系时，f(x)在区间

上恒取正值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1

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解析

(1)由a^x－b^x>0，得

^x>1，因为a>1>b>0，所以

>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设x₁>x₂>0，因为a>1>b>0，所以ax₁>ax₂，bx₁2，则－bx₁>－bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，于是lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)，即f(x₁)>f(x₂)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使得直线AB平行于x轴，即x₁≠x₂，y₁＝y₂，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．
(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。