(2014·郑州模拟)已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.(1)求f(x)的极值.(2)若存在区间M,使f(x)和g(x)在区间M

题文

(2014·郑州模拟)已知函数f(x)=e^x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.
(1)求f(x)的极值.
(2)若存在区间M,使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性,求a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a);没有极大值
（2）(-∞,-1)

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解析

(1)f(x)的定义域为R,且f′(x)=e^x+a.
当a=0时,f(x)=e^x,故f(x)在R上单调递增.
从而f(x)没有极大值,也没有极小值.
当a<0时,令f′(x)=0,得x=ln(-a).
f(x)和f′(x)的情况如下：
x
(-∞,ln(-a))
ln(-a)
(ln(-a),+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
 
↗
 
故f(x)的单调递减区间为(-∞,ln(-a));
单调递增区间为(ln(-a),+∞).
从而f(x)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a);没有极大值.
(2)g(x)的定义域为(0,+∞),且g′(x)=a-

=

.
当a=0时,f(x)在R上单调递增,
g(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
当a<0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减.
当-1≤a<0时,ln(-a)≤0,
此时f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,
由于g(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
当a<-1时,ln(-a)>0,
此时f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,
由于g(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
综上,a的取值范围是(-∞,-1).

考点

据考高分专家说，试题“(2014·郑州模拟)已知函数f(x)=.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。