定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝－(a∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的

题文

定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，
f(x)＝

－

 (a∈R)．
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

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解析

解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，
f(－x)＝

－

＝4^x－a·2^x，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝a·2^x－4^x，x∈[0,1]．
令t＝2^x，t∈[1,2]，
∴g(t)＝a·t－t²＝－(t－

)²＋

，
当

≤1，即a≤2时，g(t)_max＝g(1)＝a－1；
当1<

<2，即2max＝g(

)＝

；
当

≥2，即a≥4时，g(t)_max＝g(2)＝2a－4.
综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；
当2；
当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，
∴f′(x)＝aln2×2^x－ln4×4^x＝2^xln2·(a－2×2^x)≥0，∴a－2×2^x≥0恒成立，
∴a≥2×2^x.∵2^x∈[1,2]，∴a≥4.
故a的取值范围是[4，＋∞)．

考点

据考高分专家说，试题“定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。