若函数f对任意的x∈R，均有f+f≥2f，则称函数f具有性质P。判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。

题文

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P。
（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。
①y=a^x（a>1）； ②y=x³
（2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n>2，n∈N*），求证：对任意i∈ {1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（3）在（2）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0，若成立给出证明，若不成立给出反例。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）证明：①函数f（x）=a^x（n>1）具有性质P
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=


 


因为a>1，


即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P；
②函数f（x）=x³不具有性质P
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，
2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），此函数不具有性质P。
（2）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（1）- f（i-1）>0，
因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，
均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥… ≥f（i）-f（i-1）>0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）>0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0。
（3）不成立
例如


证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+ x+1-2x）=2
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2，
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P
而当x∈[0，n]（n>2）且当x为无理数时，f（x）>0
所以，在（2）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立。

点击查看指数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）对任意的x∈R，均有.....”主要考查你对 [指数函数的图象与性质 ]考点的理解。 指数函数的图象与性质

指数函数y=a^x（a＞0，且a≠1）的图象和性质： 

0a>1图像



图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（-∞，+∞）上是减函数在（-∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1当x<0时，00时，00时，y>1

底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0②底数对函数值的影响如图．


 
③当a>0，且a≠l时，函数

与函数y=

的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：

 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
 若底数不同而指数相同，用作商法比较；
 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．