设函数f=2x-1的反函数为f-1，g=log4．求f-1及其定义域；若f-1≤g，求x的取值范围D

题文

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定义域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（3）设H（x）=g（x）-f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．
（4）设H（x）=g（x）-12f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=f（x）=2^x-1
∴x=log₂^（y+1）
∴y=log₂^（x+1）
∵x+1＞0
∴x＞-1
∴函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x）=log₂^（x+1）定义域为（-1，+∞）
（2）由（1）可知f^-1（x）≤g（x）等价转化为若log₂^（x+1）≤log23x+1
若log₂^（x+1）≤log23x+1
∴x+1＞03x+1＞03x+1≥x+1
∴0≤x≤1
故D=[0，1]
（3）由条件和（1）可得H（x）=log23x+1x+1（0≤x≤1）
令t=3x+1x+1（0≤x≤1）则t^′=1-3x23x+1(x+1)2（0≤x≤1）
∴0≤x≤13时t=3x+1x+1单调递增，13＜x≤1时t=3x+1x+1单调递减
∴当t=13时tmax=324
∵当x=0时t=1，x=1时t=1
∴1≤t≤324
∴0≤log23x+1x+1≤log2324
∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤log2324
（4）由条件和（1）可得H（x）=12log23x+1x+1（0≤x≤1）
令t=3x+1x+1（0≤x≤1）则t′=2(x+1)2＞0在0≤x≤1上恒成立故t=3x+1x+1在0≤x≤1上单调递增
∴1≤t≤2
∴0≤12log23x+1x+1≤12
∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤12

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解析

3x+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=2x-1的反函数为f-1.....”主要考查你对 [指数函数的图象与性质 ]考点的理解。 指数函数的图象与性质

指数函数y=a^x（a＞0，且a≠1）的图象和性质： 

0a>1图像



图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（-∞，+∞）上是减函数在（-∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1当x<0时，00时，00时，y>1

底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0②底数对函数值的影响如图．


 
③当a>0，且a≠l时，函数

与函数y=

的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：

 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
 若底数不同而指数相同，用作商法比较；
 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．