设函数f=2sin+1，y=f的图象的一条对称轴是直线x=π8.求ϕ；求函数y=f的递减区间；试

题文

设函数f（x）=2^{sin（2x+ϕ）+1}（-π＜ϕ＜0），y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=π8.
（1）求ϕ；
（2）求函数y=f（x）的递减区间；
（3）试说明y=f（x）的图象可由y=2^sin2x的图象作怎样变换得到． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，函数图象的一条对称轴是x=π8.，
∴sin(2×π8+ϕ)=±1，即sin(π4+ϕ)=±1
解得，ϕ+π4=kπ+π2，k∈Z，则ϕ=kπ+π4(k∈Z)
∵-π＜kπ+π4＜0，解得-54＜k＜-14，
∴k=-1，即ϕ=-3π4（5分）
（2）∵f(x)=2sin(2x-3π4)+1且y=2^x是增函数，
∴函数y=f（x）的递减区间，即为y=sin(2x-3π4)+1的递减区间．
由2kπ+π2＜2x-3π4＜2kπ+3π2，k∈z解得：kπ+5π8＜x＜kπ+9π8．
∴函数y=f（x）的递减区间为[kπ+5π8，kπ+9π8](k∈Z)（10分）
（3）∵f(x)=2sin(2x-3π4)+1=2.2sin[2(x-3π8)]
∴将函数y=2^sin2x的图象向右平移3π8个单位，然后纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）
得到函数y=f（x）的图象（14分）

点击查看指数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

π8

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=2sin（2x+ϕ）+1.....”主要考查你对 [指数函数的图象与性质 ]考点的理解。 指数函数的图象与性质

指数函数y=a^x（a＞0，且a≠1）的图象和性质： 

0a>1图像



图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（-∞，+∞）上是减函数在（-∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1当x<0时，00时，00时，y>1

底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0②底数对函数值的影响如图．


 
③当a>0，且a≠l时，函数

与函数y=

的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：

 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
 若底数不同而指数相同，用作商法比较；
 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．