给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=x-1ax-1．证明：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；这个函数的

题文

给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=x-1ax-1（x∈R，且x≠1a）．
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x₁≠x₂，且y2-y1=x2-1ax2-1-x1-1ax1-1=ax1x2-x2-ax1+1-(ax1x2-x1-ax1+1)(ax2-1)(ax1-1)
=a(x2-x1)-(x2-x1)(ax2-1)(ax1-1)=(x2-x1)(a-1)(ax2-1)(ax1-1)，
∵a≠1，且x₁≠x₂，∴y₂-y₁≠0．
从而直线M₁M₂的斜率k=y2-y1x2-x1≠0，因此，直线M₁M₂不平行于x轴．
（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠1a，且y'=x′-1ax′-1（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2）假如ay′-1=0，则y′=1a，代入(1)得1a=x′-1ax′-1，即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，与已知矛盾，∴ay′-1≠0．于是由(2)式得x′=y′-1ay′-1.
这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，
因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

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解析

x2-1ax2-1

考点

据考高分专家说，试题“给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。