题文
为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）首先选取如下函数：y=2x+1，y=2xx+1，y=-x+1
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数y=x-12的交点坐标为（-1，-1）y=2xx+1与其反函数y=x2-x的交点坐标为（0，0），（1，1）y=-x+1与其反函数y=x2-1，（x≤0）的交点坐标为（1-52，1-52），（-1，0），（0，-1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明．现在，请你完成（II）和（III）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，
由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，
则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，
且b=f（a），a=f（a），
若a＞b时，交点显然在y=x上．
若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；
若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；
若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；
若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．
综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数定义：
设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=
（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=
（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=
（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=
（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。
反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=
（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意
；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如
与
互为反函数且有一个交点是
，它不再直线y=x上。
（7）还原性：
。
求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
