已知函数f(x)=1x2-4(x＜-2)．求f-1；若a1=1，1an+1=-f-1(an)，求an；设bn=an+12+a

题文

已知函数f(x)=1x2-4(x＜-2)．
（Ⅰ）求f ^-1（x）；
（Ⅱ）若a₁=1，1an+1=-f-1(an)（n∈N₊），求a_n；
（Ⅲ）设b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小的正整数k，使对于任意n∈N₊有b_n＜k25成立． 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=1x2-4(x＜-2)∴f（x）＞0∴f-1(x)=-4x2+1x(x＞0)
（2）∴1an+1=4an2+1an(an＞0)∴1an+12=1an2+4
∴{1an2}是以1a12=1为首项，以4为公差的等差数列、
∴1an2=4n-3∴an=14n-3(n∈N*)、
（3）∴bn=an+12+an+22+…+a2n+12=14n+1+14n+5+…+18n+1bn+1=14n+5+14n+9+…+18n+9
∴bn+1-bn=18n+5+18n+9-14n+1＜18n+2+18n+2-14n+1=0
∴b_n+1＜b_n∴{b_n}是一单调递减数列．∴bn≤b1=1445(n∈N*)
要使bn＜k25则1445＜k25∴k＞709又k∈N^*∴k≥8∴k_min=8
即存在最小的正整数k=8，使得bn＜k25．

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解析

1x2-4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x2-4(x＜-2).....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。