求下列函数的反函数f(x)=x2+x(x≤-1)；y=x|x|+2x；f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)；y=x3-3

题文

求下列函数的反函数 （1）f(x)=x2+x(x≤-1)；（2）y=x|x|+2x；（3）f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)；（4）y=x³-3x²+3x+1；（5）y=log₂（x²+1）（x＜0） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=f(x)=x2+x(x≤-1)，
∴x²+x-y²=0，x≤-1，且y≥0．
∴x=-1-1+4y22，
x，y互换，得f(x)=x2+x(x≤-1)的反函数为y=-1-1+4x22，x≥0；
（2）y=x|x|+2x，
当x≥0时，y=x²+2x，且y≥0，
x=-2+4+4y2=-1+1+y，
x，y互换，得y=x²+2x的反函数为x=-1+ 1+x，x≥0．
当x＜0时，y=-x²+2x，且y＜0，
x=-2-4-4y2=-1-1-y，
x，y互换，得y=-x²+2x的反函数为y=-1-1-x，x＜0．
∴y=x|x|+2x的反函数为y=-1+1+x，x≥0-1-1-x，x＜0；
（3）f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)，
当0≤x≤1时，y=x²-1∈[-1，0]，
x²=y+1，
x=y+1，
x，y互换，得y=x²-1∈[-1，0]的反函数为y=x+1，-1≤x≤0．
当-1≤x＜0时，y=x²∈（0，1]，
x=-y，
x，y互换，得y=x²∈（0，1]的反函数为y=-x，0＜x≤1．
∴f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)的反函数f-1(x)=x+1，-1≤x≤0-x，0＜x≤1；
（4）∵y=x³-3x²+3x+1，
∴y-2=x³-3x²+3x-1=（x-1）³，
x-1=（y-2） 13，
∴x=（y-2） 13+1，
∴y=x³-3x²+3x+1的反函数是y=(x-2)13+1，x∈R；
（5）∵y=log₂（x²+1）（x＜0）
∴x²+1=2^y，且y＞0
x²=2^y-1，
x=-2y-1，
x，y互换，得y=log₂（x²+1）（x＜0）的反函数为y=-2x-1，x＞0．

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解析

x2+x

考点

据考高分专家说，试题“求下列函数的反函数（1）f(x)=x2+.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。