由函数y=f确定数列{an}，an=f，若函数y=f的反函数y=f-1能确定数列{bn}，bn=f-1，则称数列{bn}是数列{a

题文

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2x确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式1bn+1+1bn+2+…+1b2n＞12loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设cn=1+(-1)λ2•3n+1-(-1)λ2•(2n-1)(λ为正整数)，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=2x(x≥0)⇒an=2n（n为正整数），f-1(x)=x24(x≥0)
所以数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项bn=n24（n为正整数）（2分）
（2）对于（1）中{b_n}，不等式化为2n+1+2n+2++22n＞12loga(1-2a)..（3分）
Tn=2n+1+2n+2++22n，Tn+1-Tn=22n+1+22(n+1)-2n+1=22n+1-22n+2＞0，
∴数列{T_n}单调递增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要1＞12loga(1-2a)．（6分）
∵1-2a＞0，∴0＜a＜12，又1-2a＞a2，0＜a＜2-1
所以，使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0，2-1)..（8分）
（3）设公共项t_k=c_p=d_n，k、p、q为正整数，
当λ为奇数时，cn=2n-1，dn=12(n+1)（9分）
2p-1=12(p+1)，q=4p-3，则{c_n}⊂{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子数列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n项和S_n=n²..（11分）
当λ为偶数时，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，则q=33p，同样有{c_n}⊂{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n项和Sn=32(3n-1)（14分）

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“由函数y=f（x）确定数列{an}，an.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。