已知函数f=2x+a的反函数是y=f-1．设P，Q，R是y=f-1图象上不同的三点．如果存在

题文

已知函数f（x）=2^x+a的反函数是y=f^-1（x）．设P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）图象上不同的三点．
（1）如果存在正实数x，使y₁、y₂、y₃成等差数列，试用x表示实数a；
（2）在（1）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），y₁=log₂a，y₂=log₂（x-a），
y₃=log₂2=1由题意，2log₂（x-a）=log₂x+1(x-a)2=2x，a=x-2x，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，当判别式△=0时，a=-12，这时方程有唯一解x=12满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a=-12

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。