在R上定义运算：p⊗q=-13(p-c)(q-b)+4bc，已知f1=x2-2c，f2=x-2b，f=f1f2

题文

在R上定义运算：p⊗q=-13(p-c)(q-b)+4bc（b、c∈R是常数），已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①依题意f(x)=-13x3+bx2+cx+bc，
解f(1)=-43f/(1)=0
得b=1c=-1或b=-1c=3．
若b=1c=-1，f(x)=-13x3+x2-x-1，
′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，
在x=1处无极值；若b=-1c=3，f(x)=-13x3-x2+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以b=-1c=3为所求．
②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、(2b，3bc+43b3)，
相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+43b3．
解cx+bc=-13x3+bx2+cx+bc
得x=0或x=3b；
解cx+bc+43b3=-13x3+bx2+cx+bc
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和
(2b，43b 3+3bc)、(-b，43b3)．
③g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因为f′（1）与f′（-1）之差的绝对值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b∓1）²．
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b
M=max{|f/(1)|，|f/(b)|}≥12|f/(1)-f/(b)|=12(b-1)2＞12；
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|}≥12|f/(-1)-f/(b)|=12(b+1)2≥12．
当b=0，c=12时，g(x)=|f/(x)|=|-x2+12|在[-1，1]上的最大值M=12．
所以，k的取值范围是(-∞，12]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“在R上定义运算：p⊗q=-13(p-c).....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。