解答下列问题：设f(x)=x2-9(x≤-3)，求f的反函数f-1；若u1=1，un=-f-1(un-1)，(n≥2)，求un；（

题文

解答下列问题：
（I）设f(x)=x2-9(x≤-3)，
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若u1=1，un=-f-1(un-1)，(n≥2)，求un；
（3）若ak=1uk+uk+1，k=1，2，3，…，求数列{an}的前n项和Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由y=f(x)=x2-9(x≤-3)，两边平方得出y²=x²-9，移向得，x²=y²+9
∵x≤-3，∴两边开方得出x=-y2+9，（y≥0）
所以反函数为y=f-1(x)=-x2+9（x≥0）
（2）由un=-f-1(un-1)得出un=-f-1(un-1)=un-12+9（n≥2），两边平方并移向得出un2-un-12=9
所以数列{un2}是公差为9的等差数列，且首项u12=1，
un2=1+（n-1）×9=9n-8，
∵u_n＞0，∴un=9n-8
（3）ak=19k-8+9k+1=19(9k+1-9k-8)，
∴Sn=19[(10-1)+(19-10)+…+(9n+1-9n-8)]=19(9n+1-1)；

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解析

x2-9

考点

据考高分专家说，试题“解答下列问题：（I）设f(x)=x2-9.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。