题文
已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)是奇函数．（1）求m的值；
（2）求f（x）的反函数f-1（x）；
（3）讨论f（x）的单调性，并用定义证明；
（4）当f（x）定义域区间为（1，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f(-x)+f(x)=loga1+mx-x-1+loga1-mxx-1=loga1-m2x21-x2=0，对定义域内的任意x恒成立，
∴1-m2x21-x2=1，即(m2-1)x2=0．
解得m=±1，经检验m=-1成立．
（2）由（1）可得：y=logax+1x-1，由x+1x-1＞0，解得x＞1或x＜-1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．
由y=logax+1x-1，化为ay=x+1x-1，解得x=ay+1ay-1（y≠0），
∴f-1(x)=ax+1ax-1(x≠0，a＞0，a≠1)．
（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
设g(x)=x+1x-1，任取x1＜x2＜-1或1＜x1＜x2，
∵g(x1)-g(x2)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)＞0，
∴g（x1）＞g（x2），
∴函数g(x)=x+1x-1在(-∞，-1)或(1，+∞)上单调递减，
∴当a＞1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增．
（4）∵1＜x＜a-2，
∴a＞3，
由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．
∴f(a-2)=1，即logaa-1a-2=1，化简得a2-4a+1=0，
解得a=2+3．
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解析
1+mx-x-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数定义：
设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=
（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=
（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=
（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=
（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。
反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=
（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意
；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如
与
互为反函数且有一个交点是
，它不再直线y=x上。
（7）还原性：
。
求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
