函数f (x)=log5(x2+1), x∈[2, +∞的反函数是A．g (x)=( x≥0) B．g (x)=( x≥1) C．g (x)=( x≥0)D

题文

函数f (x)=log₅(x²+1),  x∈[2, +∞

的反函数是             （   ）A．g (x)=

( x≥0) B．g (x)=

( x≥1) C．g (x)=

( x≥0)D．g (x)=

( x≥1) 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

解法一：令y=log₅(x²+1)，可得5^y= x²+1,∴x²=5^y－1, 又∵x∈[2, +∞

即x>0.
∴x=

.∵x≥2，∴x²+1≥5，y=log₅(x²+1)≥1.
∴函数f (x)=log₅(x²+1), x∈[2, +∞

的反函数是g (x)=

（ x≥1）。故选D.
解法二：∵x≥2，∴x²+1≥5，原函数y=log₅(x²+1)≥1.由原函数和反函数中x，y的对应关系知反函数中的x≥1，排除A、 C，而B中 y=

>2, 排除B. 故选D.
解法三：原函数f (x)=log₅(x²+1)经过点(2，1)，反函数y=g (x)经过点(1，2)，以 (1，2)点代入排除A、B，又原函数中y≥1，从而反函数中x≥1，排除 C，故选D.

考点

据考高分专家说，试题“函数f (x)=log5(x2+1), .....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。