仔细阅读下面问题的解法：设A=[0,1],若不等式21-x-a＞0在A上有解,求实数a的取值范围。解：由已知可得 a＜21-x令f(x)=21-x,∵不等式a＜

题文

仔细阅读下面问题的解法：
设A=[0,1],若不等式2^1-x-a＞0在A上有解,求实数a的取值范围。
解：由已知可得  a＜2^1-x
令f(x)=2^1-x,∵不等式a＜2^1-x在A上有解,
∴a＜f(x)在A上的最大值.
又f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)_max ="f(0)=2. " ∴实数a的取值范围为a＜2.
研究学习以上问题的解法，请解决下面的问题：
(1)已知函数f(x)=x²+2x+3(-2≤x≤-1)，求f(x)的反函数及反函数的定义域A；
(2)对于(1)中的A，设g(x)=

，x∈A,试判断g(x)的单调性(写明理由，不必证明)；
(3)若B={x|

＞2^x+a–5}，且对于(1)中的A，A∩B≠F，求实数a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f^-1(x)=-1-

  x∈[2,3]    A=[2,3]
（2）g(x)在x∈[2,3]上单调递减（3）a的取值范围为(-∞,

) …

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解析

(1)f(x)=(x+1)²+2
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减∴f(x)∈[2,3]，故反函数的定义域A=[2,3]……2分
x+1=-

  ,x=-1-

 ∴f^-1(x)=-1-

  x∈[2,3] …………4分

考点

据考高分专家说，试题“仔细阅读下面问题的解法：设A=[0,1].....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=

（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=

（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=

（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f^-1（y），即x=

（y）＝f^-1（y），一般对调x=f^-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f^-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性；
（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数；
（3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=

（y）＝f^-1（y）的图象相同。（对称性）
（4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
（5）函数y=f（x）的反函数是y=f^-1（x），函数y=f^-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意

；
（6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f^-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如

与

互为反函数且有一个交点是

，它不再直线y=x上。
（7）还原性：

。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f^-1（y）；
（2）将x，y互换得y =f^-1（x）；
（3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）；
另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。