已知函数f=3x+1+9x-12的反函数是f-1．求f-1的值；要使f-1有意义，求a的取值范围．

题文

已知函数f（x）=3^x+1+9^x-12的反函数是f^-1（x）．
（1）求f^-1（6）的值；   
（2）要使f^-1（a）有意义，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令3^x+1+9^x_12=6…（4分） 
解得3^x=3或3^x=-6（舍去）
解得x=1…（5分）
即f ^-1（6）=1…（6分）
（2）令 3^x+1+9^x-12=a，…（9分）
即a=(3x+32)2-574＞-12注意到（3^x＞0），…（11分）
∴a∈（-12，+∞）时，f^-1（a）有意义．…（13分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x+1+9x-12的.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。