已知a＞0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x+1+sinx(x∈[-a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M+N=______．

题文

已知a＞0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x+1+sinx(x∈[-a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M+N=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f(x)=2009x+1+20072009x+1+sinx(x∈[-a，a])
∴设g（x）=2009x+1+20072009x+1，
则g（x）=2009x+1+2009-22009x+1=2009-22009x+1，
∵2009^x是R上的增函数，∴g（x）也是R上的增函数．
∴函数g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函数y=sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-22009a+1+2009-22009-a+1…第四项分子分母同乘以2009^a
=4018-[22009a+1+2×2009a2009a+1]
=4018-2=4016．
故答案为4016．

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解析

2009x+1+20072009x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，设函数f(x)=2009x+.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。