已知函数f=ex的图象为曲线C1，函数g=ax的图象为曲线C2．若曲线C1与C2没有公共点，求满足条件的实数a

题文

已知函数f（x）=e^x（e是自然对数的底数）的图象为曲线C₁，函数g（x）=ax（a≠0）的图象为曲线C₂．
（1）若曲线C₁与C₂没有公共点，求满足条件的实数a组成的集合A；
（2）当a∈A时，平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示a；
（3）在（2）的条件下试比较a与f/(x1+x22)的大小，并证明你的结论．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）曲线C₁与C₂没有公共点，
即：e^x-ax=0无解．
设F（x）=e^x-ax，
∴F′（x）=e^x-a，
显然要使曲线C₁与C₂没有公共点，
所以a＞0，
由F′（x）=0，
∴x=lna，且F（x）=e^x-ax的减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞），
当x=lna时，F（x）_min=F（lna）=a-alna，
由a-alna＞0，
∴0＜a＜e．
综上：A=（0，e）…（4分）
（2）∵A=（0，e），a∈A，
∴a∈（0，e），
∵曲线C₁：f（x）=e^x，曲线C₂：g（x）=ax（a≠0），
平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴曲线C₃的斜率k=a=y2-y1x2-x1=ex2-ex1x2-x1，
∴a=ex2-ex1x2-x1．…（6分）
（3）设x₁＜x₂，f/(x1+x22)=ex1+x22，a-f/(x1+x22)=ex2-ex1x2-x1-ex1+x22=ex1(ex2-x1-1x2-x1-ex2-x12)
∵ex1＞0，
以下只需求ex2-x1-1x2-x1-ex2-x12的正负．
令t=x₂-x₁（t＞0）
∵ex2-x1-1x2-x1-ex2-x12=et-1t-et2=1t(et-tet2-1)，
∵1t＞0，以下只需求et-tet2-1的正负
设t2=k(k＞0)，
∴et-tet2-1=（e^k）²-2ke^k-1，
令φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1（k＞0），
φ′（k）=2（e^k）²-2e^k-2ke^k=2e^k（e^k-k-1）（k＞0），
设ω（k）=e^k-k-1（k＞0），
∴ω′（k）=e^k-1（k＞0），
∴ω′（k）＞0，
∴ω（k）单调增，
∴ω（k）=e^k-k-1＞ω（0）=0，
∴φ′（k）＞0，
∴φ（k）单调增，
即：φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1＞φ（0）=0
∴a-f/(x1+x22)＞0，
∴a＞f/(x1+x22)…（14分）

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解析

y2-y1x2-x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex（e是自然对数的底.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。