若2x+3x+6x=7x，则方程的解集为______．

题文

若2^x+3^x+6^x=7^x，则方程的解集为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴(13)x+(12)x +1=(76)x，
∵y=(12)x+(13)x+1是减函数，
y=(76)x是增函数，
∴最多只有一解．
当x≥3时，
∵左≤1+19+14=1+1336，
右（1+16）^x≥1+12，
∴x≥3无解．
当x=1时，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案为：2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“若2x+3x+6x=7x，则方程的解集为.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。