我们给出如下定义：对函数y=f，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f为

题文

我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：______．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：______．（4分）
（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，32是其“和谐数”；
（3）判断函数u（x）=x²，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵对任意x₁∈[-1，3]，令f(x1)+f(x2)2=2，得x₂=2-x₁，∴x₂∈[-1，3]，即对任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得f(x1)+f(x2)2=2，
故正确答案为是； 2
（2）证明：①对任意x₁∈[10，100]，令g(x1)+g(x2)2=32，即lgx1+lgx22=32，
得x2=1000x1．∵x₁∈[10，100]，∴x2=1000x1∈[10，100]．
即对任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=1000x1∈[10，100]，使得g(x)+g(x2)2=32．
∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为32．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；
②对任意x₁∈（1，3），令h(x1)+h(x2)2=5，即2x1+2x22=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．∵x₁∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．
即对任意x₁∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得h(x1)+h(x2)2=5．
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”
（3）函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：
对任意的常数C，①若C≤0，则对于x₁=1，显然不存在x₂∈R，使得x12+x222=1+x222=C成立，
所以C（C≤0）不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数；
②若C＞0，则对于x1=4C，由x12+x222=4C+x222=C得，x₂²=-2C＜0，
即不存在x₂∈R，使x12+x222=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数．
综上所述，函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”．

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解析

f(x1)+f(x2)2

考点

据考高分专家说，试题“我们给出如下定义：对函数y=f（x），x.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。