设y=f是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：①f=f=0；②对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f-f|≤

题文

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：①f（-1）=f（1）=0；②对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1-x；
（3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得

若存在请举一例，若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题设条件可知，
当

时，有



即

。
（2）对任意的


当

时，有


当

时，


不妨设

，则


从而有





综上可知，对任意的

，都有

。
（3）这样满足所述条件的函数不存在
理由如下：假设存在函数满足条件，则由


，

得



又


所以

 ①
又因为f（x）为奇函数，
所以


由条件

，

得



所以

 ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设y=f（x）是定义在区间[.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。