某工厂生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销

题文

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R（t）=6t﹣

t²（万元），（0＜t≤5），其中t是产品售出的数量（单位：百台）．（说明：①利润=销售收入﹣成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．）
（1）把年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；
（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？

答案

解：（1）当0＜x≤5时，f（x）=6x﹣

x²﹣0.5﹣2.5x=﹣

x²+3.5x﹣0.5 ，
当x＞5时，f（x）=6×5﹣

×5²﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x ，
即f（x）=

。
（2）当0＜x≤5时，f（x）=﹣

（x²﹣7x+1）=﹣

（x﹣

）²+

，
 ∴当x=3.5∈（0，5]时，f（x）max=

=5.625 。
当x＞5时，f（x）为（5，+∞）上的减函数，
f（x）＜f（5）=17﹣2.5×5=4.5，又5.625＞4.5 ，，
∴f（x）max=f（3.5）=5.625 。
故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大。

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解析

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考点

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。