已知函数f对任意实数x，y都有f=f+f，且当x＞0时，f＞0，f=﹣2．求f；求证f为

题文

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．
（1）求f（0）；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x₂﹣x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）﹣f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x，y都.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。