设f是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜x i﹣1＜xi＜…xn=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一

题文

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…x_n=b
将区间[a，b]任意划分成n个小区间，
如果存在一个常数M＞0，使得
和

≤M（i=1，2，…，n）恒成立，
则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k

|x₁﹣x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函数
∴对任意划分T，f（x_n）＞f（x _n﹣1）|f（x_i）﹣f（x _i﹣1）|
                                       =f（x₁）﹣f（x₀）+…+f（x_n）﹣f（x_n﹣1）
                                       =f（1）﹣f（0）=1
取常数M≥1，则和式

（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数任意的划分T，
a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…＜x_n=b
∴

=f（x₀）-f（x₁）+ f（x₁）-f（x₂）+...+f（x _n-1）-f（x_n）
                              =f（a）- f（b）
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）﹣f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
（3）∵|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k

|x₁﹣x₂|
∴对任意的划分T，a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x _i＜…＜x_n
                                    =b


                                    =

=k（b﹣a）
取常数M=k（b﹣a）f（x）为有界变差函数．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在[a，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。