定义在R上的单调函数f满足f=log23且对任意x，y∈R都有f=f+f．求证f为奇函数；若f（k·3

题文

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂³且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3^x）+f（3^x﹣9^x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log₂³＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k·3^x）＜﹣f（3^x﹣9^x﹣2）=f（﹣3^x+9^x+2），
k·3^x＜﹣3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：

，
问题等价于

，
对任意t＞0恒成立．
∵

，
∴

．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的单调函数f（x）满足f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。