定义在R上的函数f满足：对任意实数m，n，总有f=f•f，且当x＞0时，0＜f＜1．试求f的值；判断f

题文

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，得：f（1）=f（1）•f（0）
因为f（1）≠0，所以，f（0）=1．
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x₁，x₂∈R，且设x₁＜x₂．
在f（m+n）=f（m）•f（n）中取m+n=x₂，m=x₁，
则f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1
为比较f（x₂），f（x₁）的大小，只需考虑fx₁（ ）的正负即可．
在在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=x，n=-x，则得f（x）-f（-x）=1．
∵x＞0时0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）=1f(-x)＞1＞0．
又f（0）=1，所以，综上，可知，对于任意x₁∈R，均有f（x₁）＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
∴函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知函数f（x）在R上单调递减，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t，其中t∈R．
∴k＜（3t²-2t）_min，而3t²-2t=3(t-13)2-13≤13，
∴k＜-13，即k的取值范围是（-∞，-13）．

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解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。