题文
如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．（1）求函数f（t）解析式；
（2）画出函数y=f（t）的图象；
（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当0＜t≤1时，f(t)=32t2 （1分）
当1＜t≤2时，f(t)=3-32(2-t)2 （2分）
当t＞2时，f(t)=3 （3分）
所以f(t)=32t2，0＜t≤13-32(2-t)2，1＜t≤23，t＞2 （4分）
（2）画图象（4分），如图：（其中图形（3分），规范1分）
（3）当0＜t≤1时，g(t)=32t2-at，由g(t)=32t2-at=0，解得t=2a3
因为0＜t≤1，所以0＜2a3≤1，即0＜a≤32 （9分）
当a=32时，直线y=at过点(1，32)，(2，3)，这两点都在f（t）的图象上
当0＜a＜32时，直线y=at与射线y=3有一个交点 （10分）
当1＜t≤2时，直线y=a（a＞32）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y=3无交点．（11分）
此时3-32(2-t)2-at=0，所以 t2-(4-233a)t+2=0，
所以△=(4-233a)2-8=0，解得a=23-6或a=23+6．（12分）
当a=23-6时，t2-22t+2=0，所以t=2在（1，2]内．
当a=23+6．时t=-2不在（1，2]内，（13分）
当a≤0或a＞23-6时，直线y=at与f（t）的图象无交点
所以a=23-6．（14分）
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解析
32考点
据考高分专家说，试题“如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
