设函数f的定义域是，且对任意的正实数x，y都有f=f+f恒成立．已知f=1，且x＞1时，f＞0．求f（1

题文

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（12）的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1，则可得f（1）=0，
再令x=2，y=12，得f（1）=f（2）+f（12），故f（12）=-1
（2）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）+f（x2x1）=f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）=f（x2x1），
∵x2x1＞1，故f（x2x1）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在（0，+∞）上为增函数
（3）由f（x²）＞f（8x-6）-1得f（x²）＞f（8x-6）+f（12）=f[12（8x-6）]，
故得x²＞4x-3且8x-6＞0，解得解集为{x|34＜x＜1或x＞3}．

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。