偶函数f的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f=f+f，若x＞1时，f＞0．求f的值；求

题文

偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（1）=0；
（2）令y=1x，代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（1x）=0，即f（1x）=-f（x）；
∵x＞1时，f（x）＞0，令0＜x₁＜x₂，x2x1＞1，
∴f（x2x1）=f（x₂•1x1）=f（x₂）+f（1x1）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）∵偶函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（4）=1，
∵f（3x+1）≤2=f（4）+f（4）=f（16），
∴|3x+1|≤16（x≠0），
∴-173≤x＜0或0＜x≤5．
∴所求不等式的解集为：{x|-173≤x＜0或0＜x≤5}．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。