已知函数f的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f≥2；②f=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x

题文

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=-12(an-3)(n∈N*)，求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由③知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（Ⅱ）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₂）≥f（x₁），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn=-12(an-3)知，
当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=-12an+12an-1
∴an=13an-1(n≥2)，又a1=1，∴an=13n-1
∴f(an)=f(13n-1)=f(13n+13n+13n)=f(23n)+f(13n)-2
=3f(13n)-4=3f(an+1)-4
∴f(an+1)=13f(an)+43
∴f(an+1)-2=13(f(an)-2)
又f（a₁）-2=1∴f(an)-2=(13)n-1，∴f(an)=(13)n-1+2
∴f(a1)+f(a2)++f(an)=2n+32-12×3n-1.

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。