A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ组成的集合：①对任意的x∈[1，2]，都有Φ∈；②存在常数L，使得对任意的

题文

A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|Φ（2x₁）-Φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|；
（1）设Φ(x)=[3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=Φ（2x₀），那么，这样的x₀是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=Φ（2x_n），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤Lk-11-L|x2-x1|成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）对任意x∈[1，2]，φ(2x)=[3]1+2x，x∈[1，2]，
于是[3]3≤φ(2x)≤[3]5，（2分）
又1＜[3]3＜[3]5＜2，
所以φ（2x）∈（1，2）．
对任意x₁，x₂∈（1，2），|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|[3]1+2x1-[3]1+2x2|=2|x1-x2|[3](1+2x1)2+[3](1+2x1)(1+2x2)+[3](1+2xx)2
由于[3](1+2x1)2+[3](1+2x1)(1+2x2+[3](1+2x2)2＞3，
所以0＜2[3](1+2x1)2+[3](1+2x1)(1+2x2)+[3](1+2x2)2＜23，（4分）
令2[3](1+2x1)2+[3](1+2x1)(1+2x2)+[3](1+2x2)2=L，
则0＜L＜1，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，所以φ（x）∈A．（7分）
（2）反证法：设存在x₀，x₀′∈（1，2），x₀≠x₀′，使得x₀=φ（2x₀），x₀′=φ（2x₀′），
则由|φ（2x₀）-φ（2x₀′）|≤L|x₀-x₀′|，
得|x₀-x₀'|≤L|x₀-x₀'|，所以L≥1，与题设矛盾，故结论成立．（10分）
（3）|x₃-x₂|=|φ（2x₂）-φ（2x₁）|≤L|x₂-x₁|，所以进一步可得|x_n+1-x_n|≤L^n-1|x₂-x₁|，n∈N*，（12分）
于是|x_k+p-x_k|=|（x_k+p-x_k+p-1）+（x_k+p-1-x_k+p-2）+…+（x_k+1-x_k）|
≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^K+P-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|=LK-1(1-Lp)1-L|x2-x1|≤LK-11-L|x2-x1|．（16分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。