设α∈，函数f的定义域为[0，1]，且f=0，f=1，对定义域内任意的x，y，满足f=fsinα+（1-si

题文

（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（x+y2）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（12），并在f（12）时求出α的值；
（2）试用α表示f（14），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=12n，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量OA=(3，-4)，OB=(6，-3)，OC=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（理）（1）f（12）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（12）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
则sinα=12∵α∈(0，π)∴α=π6或5π6…．（3分）
（2）令x=12，y=0，f（14）=f（12）sinα=sin²α
令x=0，y=12，f（14）=（1-sinα）f（12）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=12
∵α∈（0，π），∴α=π6或5π6…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=12n，所以
f（a_n）=f（12n)=f(12n-1+02)=12f(12n-1)=12f(an-1）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首项为f（a₁）=12，公比为12的等比数列    …（12分）
故f（a_n）=f（12n)=12n…（13分）．
猜测f（x）=x…（14分）．
（文）（1）已知向量OA=(3，-4)，OB=(6，-3)，OC=（5-m，-3-m），
若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线．             …（1分）
∵AB=(3，1)，AC=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴实数m=12时，满足条件．…（5分）
（2）若△ABC为直角三角形，且
①∠A为直角，则AB⊥AC，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=74…（7分）
②∠B为直角，BC=（-1-m，-m）则AB⊥BC，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-34…（10分）
③∠C为直角，则BC⊥AC，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=1±52…（13分）
综上，m=74或m=-34或m=1±52…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。