函数f的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f＞0；②对任意x，y∈R，有f=[f]y；③f＞1．求f的

题文

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（13）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=13p1，x2=13p2，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（13）＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（13p1）-f（13p2）=[f(13)]p1-[f(13)]p2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
∴f（b）＞1，
∵f（a）=f（b•ab）=[f(b)]ab，f（c）=f（b•cb）=[f(b)]cb，
∴f（a）+f（c）=[f(b)]ab+[f(b)]cb＞2[f(b)]c+ab，
而a+c＞2ac=2b2=2b，
∴2[f(b)]c+ab＞2[f(b)]2bb=2f（b），
∴f（a）+f（c）＞2f（b）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。