已知：函数f对一切实数x，y都有f-f=x成立，且f=0．求f的值．求f的解析式．已知

题文

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜12时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C_RB（R为全集）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x²+x-2+3＜2x+a
也就是x²-x+1＜a．由于当0＜x＜12时，34＜x2-x+1＜1，又x²-x+1=(x-12)2+34＜a恒成立，
故A={a|a≥1}，g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 对称轴x=a-12，
又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有a-12≤-2，或a-12≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。