定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f=f·f.求证：f=1；求证：对任意的x∈R，恒有f＞

题文

定义在R上的函数

，

，当x＞0时，

，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x²）＞1，求x的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

略

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解析

抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。
（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f ²（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=

＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0.
∴f（x₂）=f（x₂－x₁+x₁）=f（x₂－x₁）·f（x₁）.
∵x₂－x₁＞0，∴f（x₂－x₁）＞1.
又f（x₁）＞0，∴f（x₂－x₁）·f（x₁）＞f（x₁）.
∴f（x₂）＞f（x₁）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x²）＞1，f（0）=1得f（3x－x²）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x²＞0.∴0＜x＜3.

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。