题文
已知函数
的定义域为
对定义域内的任意
、
，都有
（1）求证：
是偶函数；
（2）求证：
在
上是增函数；
（3）解不等式
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1），（2）证明略，（3）
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解析
证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法.（1）证明 因对定义域内的任意
、
都有
，则有
……2分
又令
再令
于是有
（2）设
由于
从而
，
故
上是增函数． （3）由于
于是待解不等式可化为
， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于
解得
．
【名师指引】作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
