函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)="f(a)+" f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.求证：f(x)是R上的

题文

（本小题满分12分）函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)="f(a)+" f(b)-1,并且
当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）略
（2）-1＜m＜

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解析

解 （1）设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,
则x₂- x₁＞0,∴f(x₂- x₁)＞1.            2分
f(x₂)-f(x₁)=f((x₂- x₁)+ x₁)-f(x₁)
=f(x₂- x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂- x₁)-1＞0.   5分
∴f（x₂）＞f(x₁).
即f(x)是R上的增函数.                       6分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，                          8分
∴原不等式可化为f(3m²-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m²-m-2＜2,            10分
解得-1＜m＜

,故解集为（-1,

）.                       12分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）函数f(x)对任意的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。